Deneme Yayını

Moment Denklemi

 

Sabit eksen takımı üzerinde tanımlı bir M cisminin kütle merkezinin konumu G’dir. Dış kuvvetlerin etkisi altındaki M cisminin moment denklemi çıkarılmak isteniyor. Elde edilmek istenen:

$\Sigma\vec{M_G}=\underline{I}\cdot\vec{\alpha}+\vec{\omega}\times(\underline{I}\\mathbit{cdot}\vec{\omega})$

Noktalar sistemi içerisinden herhangi bir i noktası için 2. hareket yasası şu şekilde uygulanabilir:

$\vec{F_i}+\vec{f_i}=m_i\vec{a_i}$

Burada i noktasına etkiyen kuvvetler F ve f olmak üzere iki farklı kuvvetin bileşkesi şeklinde yazılmıştır. F, dış kuvvetlerin etkisi iken; f, iç kuvvetlerin etkisidir. Tüm i noktaların toplanması ile iç kuvvetler toplamı, etki-tepki yasası gereği sıfır vektörüne eşit olur. Tüm noktalar, noktalar sisteminin kütle merkezine göre momenti alınırsa:

$\vec{\rho}\times\ \vec{F_i}+\vec{\rho}\times\vec{f_i}=\vec{\rho}\times m_i\vec{a_i}

Elde edilir. Burada orijine göre konum \vec{r}, kütle merkezinin konumu ise \vec{r_G} ‘dir. Yani, 

$\vec{r}=\vec{\rho}+\vec{r_G}

ve tüm i noktaları için toplanırsa:

$\Sigma\vec{\rho}\times\ \vec{F_i}+\Sigma\vec{\rho}\times\vec{f_i}=\Sigma\vec{\rho}\times m_i\vec{a_i}

$\Sigma\vec{\rho}\times\ \vec{F_i}=\Sigma\vec{M_G}=\Sigma\vec{\rho}\times m_i\vec{a_i}

İfadesi elde edilir. Noktalar sistemi üzerindeki i noktalarının ivmeleri, kütle merkezine göre izafi olarak yazılırsa,

$\vec{a_i}=\vec{a_{i/G\ }}+\vec{a_G}=\vec{\alpha}\times\vec{\rho}+\vec{\omega}\times\vec{\omega}\times\vec{\rho}+\vec{a_G}

Böylece,

$\Sigma\vec{M_G}=\Sigma\vec{\rho}\times\left(\vec{\alpha}\times\vec{\rho}+\vec{\omega}\times\vec{\omega}\times\vec{\rho}+\vec{a_G}\right)m_i

$\Sigma\vec{M_G}={\underbrace{\int{\vec{\rho}\times\vec{\alpha}\times\vec{\rho}\ dm}}}\below I+{\underbrace{\int{\vec{\rho}\times\vec{\omega}\times\vec{\omega}\times\vec{\rho}\ dm}}}\below{II}+{\underbrace{\int{\vec{\rho}\times\vec{a_G}\ dm}}}\below{III}

Elde edilir. 

I nolu ifade:

$\vec{\rho}\times\vec{\alpha}\times\vec{\rho}=\left(\vec{\rho}\cdot\vec{\rho}\right)\vec{\alpha}-\left(\vec{\rho}\cdot\vec{\alpha}\right)\vec{\rho}=\left[\begin{matrix}{\vec{\rho}}^2&0&0\\0&{\vec{\rho}}^2&0\\0&0&{\vec{\rho}}^2\\\end{matrix}\right]αxαyαz-ρxρxρxρyρxρzρyρxρyρyρyρzρzρxρzρyρzρzαxαyαz

$\vec{\rho}\times\vec{\alpha}\times\vec{\rho}=({\vec{\rho}}^2\mathbit{\delta}_{\mathbit{ij}}-[\mathbit{\rho}_\mathbit{i}\mathbit{\rho}_\mathbit{j}])⋅α

$\int{\vec{\rho}\times\vec{\alpha}\times\vec{\rho}\ dm}=\int\left({\vec{\rho}}^2\mathbit{\delta}_{\mathbit{ij}}-\left[\mathbit{\rho}_\mathbit{i}\mathbit{\rho}_\mathbit{j}\right]\right)dm\cdot\vec{\alpha}=\underline{\mathbit{I}}\cdot\vec{\alpha}

II nolu ifade:

$\vec{\rho}\times\vec{\omega}\times\vec{\omega}\times\vec{\rho}=\vec{\rho}\times\vec{\omega}\times\vec{A}={\underbrace{\left(\vec{\rho}\cdot\vec{A}\right)\vec{\alpha}}}\below{II.a}-{\underbrace{\left(\vec{\rho}\cdot\vec{\omega}\right)\vec{A}}}\below{II.b}

II.a:

$\left(\vec{\rho}\cdot\vec{A}\right)\vec{\alpha}=\left(\vec{\rho}\cdot(\vec{\omega}\times\vec{\rho})\right)\vec{\alpha}=\left(-\vec{\omega}\cdot(\vec{\rho}\times\vec{\rho})\right)\vec{\alpha}=\vec{0}

II.b:

$\left(\vec{\rho}\cdot\vec{\omega}\right)\vec{A}=\left(\vec{\rho}\cdot\vec{\omega}\right)\left(\vec{\omega}\times\vec{\rho}\right)=\vec{\omega}\times\left(\left(\vec{\rho}\cdot\vec{\omega}\right)\vec{\rho}\right)=\vec{\omega}\times\left(\left[\mathbit{\rho}_\mathbit{i}\mathbit{\rho}_\mathbit{j}\right]\cdot\vec{\omega}\right)

Böylece,

$\int{\vec{\rho}\times\vec{\omega}\times\vec{\omega}\times\vec{\rho}\ dm}=-\int{\vec{\omega}\times\left(\left[\mathbit{\rho}_\mathbit{i}\mathbit{\rho}_\mathbit{j}\right]\cdot\vec{\omega}\right)\ dm}

Eşitliğe sıfır vektörünü eklemek eşitliği bozmaz. 

$\vec{0}=\vec{\omega}\times\ c\vec{\omega}=\vec{\omega}\times{\vec{\rho}}^2\vec{\omega}=\vec{\omega}\times\left({\vec{\rho}}^2\mathbit{\delta}_{\mathbit{ij}}\cdot\vec{\omega}\right)

$\int{\vec{\rho}\times\vec{\omega}\times\vec{\omega}\times\vec{\rho}\ dm}=\int{\vec{\omega}\times\left({\vec{\rho}}^2\mathbit{\delta}_{\mathbit{ij}}-\left[\mathbit{\rho}_\mathbit{i}\mathbit{\rho}_\mathbit{j}\right]\right)\cdot\vec{\omega}\ dm}

=\vec{\omega}\times\int\left({\vec{\rho}}^2\mathbit{\delta}_{\mathbit{ij}}-\left[\mathbit{\rho}_\mathbit{i}\mathbit{\rho}_\mathbit{j}\right]\right)dm\cdot\vec{\omega}=\vec{\omega}\times(\underline{\mathbit{I}}\cdot\vec{\omega})

III nolu ifade:

$\int{\vec{\rho}\times\vec{a_G}\ dm}=-\vec{a_G}\times\int{\vec{\rho}\ dm}=-\vec{a_G}\times\vec{0}=\vec{0}

Sonuç:

$\Sigma\vec{M_G}=\underline{\mathbit{I}}\\mathbit{cdot}\vec{\alpha}+\vec{\omega}\times(\underline{\mathbit{I}}\\mathbit{cdot}\vec{\omega})